기저벡터와 차원

단위벡터는 한개의 원소 말고 다 0으로 이루어진 벡터로, 한 축에서 가장 짧은 벡터로 우리가 잘 알고 있다.

 

기저벡터란?

이전에 Span 이란 용어를 정의했다. 

벡터들이 주어지고 선형적인 변환을 무수히 많은 횟수를 거치다보면은 하나의 공간을 가질 수 있고 이게 Span이라 정의했었다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

span을 설명할 때는 벡터가 주어진 이후 이 벡터들로 어떤 공간을 이룰 수 있는지 물어보았다.

그러나 만약 반대로 span이 주어진다면?

주어진 span을 종속적인 벡터 없이 이루는 벡터들을 기저벡터라고 한다. 3차원 span이라면 기저벡터는 3개로 이루어져있고 2차원이면 2개로 이루어져있다.

어느 2차원 span S를 이루는 기저벡터a,b가 있다고 가정해보자.

S에서의 한점을 c라고 해보자. 그렇다면 S를 이루는 기저벡터 a,b를 이용해 한 점 c에 닿는 방법은 한가지밖에 없다.

 

그리고 span S를 이루는 기저벡터는 unique한 쌍을 가지지 않고 여러 개의 기저벡터의 집합들이 span을 이룰 수 있다.

 

차원(dimension)이란?

차원을 정의해보자.

 한 span의 기저 벡터의 개수가 차원이다. 조금 쉽게 해보자면 어떠한 공간을 정의하기 위한 기저벡터의 개수이다.

위의 그림에서의 span의 차원은 2차원이라고 할 수 있다.

$ \begin{bmatrix}170 & 34 & 17 \\180 & 36 & 18  \\ 190 & 38 & 19 \end{bmatrix} $

이 벡터의 차원은 무엇일까?

언뜻보면 3개의 벡터로 이루어져있으므로 3차원의 span을 이룰 거 같지만 두번째와 세번째 열벡터의 경우

첫번째 열벡터의 선형변환으로 구성되어 있다. 즉 종속벡터이므로 차원에 속하지 않는다.

그러므로 이 벡터는 1차원이라고 할 수 있다.

 

 

추가로 Rank라는 개념이 있는데 많은 설명을 찾아봐도 dimension과 명확한 차이를 찾을 수 없어 일단 같다고 생각하려고 합니다.