REF, RREF란 무엇인가

지난 2022학년도 1학기 때 경영과학을 들으면서 어렴풋이 REF, RREF용어를 들었다.

그 과목은 가우스-조던 소거법을 사용하여 최적화 문제를 푸는 것으로 진행이 되었기 때문에

그 이상으로 자세히 알아보지는 않았던 거 같은데 이번에 알아보려고 한다.

 

REF란?

 

Row Echelon form 의 약자로 행간 사다리꼴 모양을 가진다고 할 수 있다.

보통 가우스-조던 소거법을 처음에 풀게 되면은 정사각행렬을 이용해 풀게 되고 계산만 잘 하게 된다면 해를 구할 수 있다.

그러나 우리가 마주하는 행렬들을 정사각행렬만 있지 않고 다음 그림과 같은 행렬들이 자주 있을 것이다.

그리고 

$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 &0  \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

이러한 행렬을 REF행렬이라고 한다. 한번 REF 행렬 성질을 알아보자.

REF 성질

 

1. 각 행에서 처음으로  0이 아닌 수는 1이다.(선행성분이 1이다)

2. 선행성분이 나타나는 i행과 j행의 선행성분의 위치는 i < j이다.

3. 모든 성분이 0인 행은 가장 아래쪽에 있다.

(1번 조건에 대해서 REF라고 하는 문서도 있고 RREF라고 하는 문서도 있는데 제가 배우는 곳에선 REF라 하기 때문에

여기서도 REF라고 표시하겠습니다)

 

1의 성질을 한번 살펴보자면

$ \begin{bmatrix}2 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

이것처럼 0이 아닌 수인 2가 나왔으므로 REF를 만족하지 못합니다.

 

2의 성질을 예시를 통해 살펴보자면 

$ \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1조건을 만족하고 이렇게 1행보다 2행에서 0이 아닌 수인 1이 먼저 나왔기 때문에 REF행렬이 아니다.

 

3의 성질의 예시로는

$ \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

이렇게 0이 아닌 행이 가장 밑에 있지 않은 경우 REF행렬이 아니라고 할 수 있다.

 

이전에 행렬의 성질에 대해 공부하면서 행렬에서는 행끼리 서로 덧셈뺄셈이 가능하며

순서를 바꿔도 된다고 하였다. 그렇기 때문에 REF행렬이 아니더라도 조금의 연산을 통해 변환이 가능하다.

 

RREF 행렬이란?

 

REF행렬의 모든 성질을 만족하면서 선행성분이 1인 열에서 모든 원소가 0이면 RREF이다.

예시를 들어보자면

$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 &0  \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

이러한 행렬이라고 할 수 있다.

$ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\0 & 1 &0  \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

이러한 행렬은 REF행렬이지만 RREF는 아닌 것을 확인할 수 있다.(이 또한 약간의 연산을 통해 RREF변환 가능하다)