전치행렬, 대칭행렬, 반대칭행렬 은 무엇인가

이번에 자세히 알아볼 내용은 전치행렬, 대칭행렬, 반대칭행렬!

물론 아는 개념이지만 확실하게 짚고 넘어가기 위해 기록하기!!

 

전치행렬이란?

 

영어로는 Transposed Matrix라고 한다. 기호로는 $A^{T}$로 쓴다.

이에 대한 정의는 행과 열을 바꾼 행렬이라고 이해하면 된다.

예를 들어 2x3 행렬은 3x2로 바뀌고, 1x5 행렬은 5x1로 바뀐다.

우리가 데이터를 모델에 넣을 때 행렬의 크기가 어긋날 때가 많은데 transpose함수를 이용해

행렬의 크기를 바꾸었던 기억이 난다.

i x j 행렬 A의 원소를 $a_{ij}$라고 할 때 $a_{13}$ 의 원소는 $a_{31}$로 위치가 바뀐다. 

 

전치행렬에 대한 성질 알아보기

1. $A^{T^{T}} = A$

2. $(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ 

3. $(AB)^{T} = B^{T} A^{T}$

4. $(kA)^{T} = k A^{T}$ (k는 임의의 실수)

개인적인 생각이지만 집합에서의 여집합과 성질이 동일해서 기억하기 쉬운 거 같습니다.

 

대칭행렬이란?

 

영어로는 Symmetric Matrix라고 한다.

위에서 전치행렬에 대하여 간략하게 알아보았고 $a_{ij}$의 원소는 $a_{ji}$로 변경된다고 하였다.

그러나 $a_{11}, a_{22}$같은 대각선에 있는 원소들은 변경이 되지 않고 그 외 원소들만 변경이 되는데

행렬이 전치가 되어도 대각선에 있는 원소들뿐만 아니라 그 외의 원소들도 바뀌지 않는 행렬을 대칭행렬이라고 한다.

즉 모든 원소에 대해 $a_{ij} = a_{ji}$ 가 성립하면 대칭행렬이다.

 

반대칭행렬이란?

 

영어로는 Skew Symmetric Matrix라고 한다.

위에서 말한 대칭행렬에서는 전치되더라도 모든 원소가 변하지 않는다고 하였다.

그러나 반대칭행렬에서는 부호만 바뀌는 것이다.

기호로 정의한다면 $a_{ij} = -a_{ji}$ 단 i와 j는 같지 않다.