고유값, 고유벡터(eigen value, eigen vector)에 대한 이해

참고 내용 : 공돌이님 블로그 다크프로그래머님 블로그

 

고유값, 고유벡터란 무엇인가?

$\vec{a}$ 하나가 있으며 이 벡터에다 행렬 A를 곱해보자.

\begin{bmatrix}b & c\\ d & e \end{bmatrix} 이러한 행렬A가 있다고 했을 때 벡터와 행렬간의 곱셈을 하면

또 다른 벡터 $\vec{a_{1}}$ 이 만들어지게 된다.

그렇다면 행렬 곱을 통해 방향과 크기가 바뀐 벡터가 기존 벡터와 평행일 수 있을까?

이를 수식으로 나타내보자면 $Av = \lambda v$ 이런 수식을 만족시키는 것이다.

(벡터가 서로 평행하다는 것은 한 벡터의 상수배를 한 것과 같은 것이다 벡터의 평행 정리)

여기서 만족시키는 벡터 v를 고유벡터라고 하며 $\lambda$ 을 고유값이라고 한다.

(A : nxn 행렬이며 a는 영벡터가 아니다.)

 

이러한 고유값과 고유벡터에 대해 기하학적인 의미를 찾아보았는데 재미난 비유가 있었다.

3차원공간에서의 지구가 자전운동을 한다고 했을 때 이러한 변환운동을 통해 방향이 변하지 않는 것은 회전축이기에

여기서의 고유벡터는 회전축이 될 것이며 고유값은 1이 될 것이다.

 

고유벡터, 고유값 구하기

수식을 조금 바꿔보자면 $(A - \lambda I)\vec{a} = 0$

만약 괄호 안에 있는 식의 역행렬이 존재한다고 한다면 $\vec{v} = (A-\lambda I)^{-1} * 0 = 0$

이러한 수식을 만족하는데 고유벡터는 영벡터가 아니므로 이러한 조건은 성립할 수가 없다,

따라서 고유벡터가 존재하기 위해서는 $A - \lambda I$의 역행렬은 존재할 수가 없으며 이는 

$$ det(A - \lambda I) = 0$$ 이라는 수식을 만족하게 된다.

계산하는 예시는 참조한 두 블로그에서 있으니 보면 될 거 같다.

 

아마 고유값 분해와 연결되는 거 같던데 추가로 공부해봐야겠다.