선형대수와 행렬 기본원칙이란

딥러닝을 공부하는 학생의 입장에서 선형대수를 공부해야한다는 말을 많이 보게된다.

 

선형대수를 공부하는 것이란 무엇일까?

 

수업에 나왔던 교수님의 말에 따르면

1. 행렬을 공부하는 것

2. 정의역과 치역이 벡터공간안에 있는 함수에 대하여 공부하는 것  --> 선형사상을 공부하는 것

 

선형대수란 무엇인가

덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는

함수인 선형 사상에 대한 대수학

 

여기서 덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터 공간이란 1차식으로 이루어진 벡터들의 공간이다.

(1,2,3)/ (2,3,4) ... 이렇게 무수히 많은 3차원 벡터들을 가지는 공간을 3차원 벡터공간일 것이고

(1,2)/ (2,3) 같이 2차원 벡터들을 가지는 공간을 2차원 벡터공간이라고 한다.

$$ a_{1}x_{1} + b_{1}y_{1} + c_{2}z_{2} = d_{1}$$

$$ a_{2}x_{2} + b_{2}y_{2} + c_{2}z_{2} = d_{2}$$

$$ a_{3}x_{3} + b_{3}y_{3} + c_{3}z_{3} = d_{3}$$

우리가 이러한 연립방정식을 풀 때 별 다른 생각없이 푸는 과정을 거치는데 이러한 과정에서

단순히 반복되는 문자인 x,y,z 를 제거하고 숫자만을 이용하여 나타낼 수 있다.

a1	b1	c1	d1
a2	b2	c2	d2
a3	b3	c3	d3

이러한 모습을 행렬이라고 하며 선형대수란 이러한 커다란 벡터공간안에서 이러한 행렬들을 다루는 학문이라고 할 수 있다.

 

행렬의 기본원칙

1. 행끼리 서로 위치를 바꿀 수 있다.

2. 행 상수배를 한다.

3. 한 행에 다른 행을 더하거나 뺄 수 있다.

 

이러한 기본 원칙들을 활용하여 우리는 가우스-조던 소거법을 사용하여 연립방정식을 풀 수 있다.

 

가우스-조던 소거법이란?

처음에는 가우스가 만들었다. 위에 나온 행렬에 대해 대각선 원소들을 1로 만들고 그 아래 원소들을 0으로 만들면그 행렬을 풀 수 있다는 것이다. 이런 가우스법에 조금 더해 Jordan이란 사람이 대각원소1 위에 있는 원소들도 0으로만들어 연립방정식을 풀었고 이를 가우스-조던 소거법이라 한다.

 

선형대수 왜 공부하는가?

모든 데이터는 행렬로 표현할 수 있다. 지금 이 세상은 빅데이터로 둘러쌓여 있고 이를 어떻게 효율적으로 사용하는지가관건이다. 내가 공부하는 이미지 데이터들의 크기를 늘리고 줄이는 과정에서 어떻게 덜 소실시키는지도 중요한 문제다.이러한 것에 다가가기 위한 한발자국이 선형대수를 공부하는 것이라 본다. 아직은 한방울이지만 점점 누적하다보면큰 웅덩이를 이룰만큼의 지식을 쌓고싶다.